开方术(kaifangshu)

    中国古代的开方运算起源于长度的测算。或化积为方(包括已知正方形的面积求边长、已知立方体的体积求棱长),或化圆为方(包括已知圆面积求圆的直径、已知球的体积求球的直径),或勾股弦的互求等涉及开方运算的问题.这些问题的文字记载最早见于《九章算术》“少广”、“勾股”两章.《九章算术》“少广”章中的“开方术”特指开平方运算.其算法与现在教科书中介绍的开平方笔算方法基本相同.现以“少广”章第12题“今有积五万五千二百二十五步,问为方几何”为例,结合术文将这一方法介绍如下:

    l.“置积为实.借一算步之,超一等.”即将被开方数55225称为“实”.下隔一行置一算筹于个位称为“借算”,将“借算”向左移动,隔一位一“步”.以确定方框的最高位为100;

    2.“议所得,似一乘所借一算为法而以除.”即在百位上“议得”方根的第一位数字2,将此数乘以“借算”得“法”;2×10000=20000,以下按除法运算在“实”这一行中有 55225—210000=15225.

    3.“除已,倍法为定法.其复除,折法而下.复置借算步之如初。”即将“法”乘以2为“定法”、然后退一位成:20000×2+10=4000,按照1.中的方法重新确定“借算’”的位置,“步得”100;

    4.“以复议一乘之,所得副,以加定法,以除.”即在十位上“复议”得方根的第二位数字3,将此数乘以“借算”为“所得”:3×100=300,暂置于“定法”之下称为“副”,又将“所得”加到“定法”4000上的4300,在“实”这一行中进行除法运算,有15225一3×4300=2325;

    5.“以所得副从定法,复除下折如前.”即再把“所得”300加到新的“定法”4300上,得4600.按照3.中的方法将“定法”退一位成460,“借算”则表示1;

    6.在个位上“议得”方根第三位数为5,仿照2、4在“实”这一行中有2325一5×465= 0,表示开方已尽,方根为235.(如开方不尽,还可用“命分”的方法给出其近似方根的值).

    刘徽在其注文中、还利用几何图形对这一方法给出了一个非常直观的解释.