约分*(yuefen)

    最早的文字记载见于《九章算术》“方田”章。“约分术曰:可半者半之,不可半者,副置分母子之数,以少减多,更相减损,求其等也。以等数约之”。即先进行观察,如果分数的分子、分母有2的倍数,则可先在分子、分母中同约去2;然后再用分子、分母中较大的减去较小的,所得的差与上一步骤中的减数比较大小,并再从较大的数中减去较小的数,如此重复进行下去,当差与减数相等即出现“等数”时,该等数即为所求分子与分母的最大公约数,只需将分子分母同除以这个数,即可将原来的分数化为最简分数。例如《九章算术》“方田”章第6题:“今有九十一分之四十九,问约之的几何”?其“更相减损”的算法是:

    r1=91-49=42

    r2=49-42=7,

    r3=42-7-7-7-7-7=7.

    这时r2=r3,故称之为等数。将分49/91的分子、分母同除以7即得最简分数7/13。关于这一方法,刘徽解释说:“其所以相减者,皆等数之重叠,故以等数约之”。即分子、分母及运算过程中出现的各余数,都可以看作是等数的倍数。