直除术(zhichushu)

    《九章算术》中提出的一种解线性方程组的消元法,今举例如下:第八章“方程”第一题:“今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗,上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗,上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何”?依术文列出方程如下:

   其消元过程如下:1.“以右行上禾遍乘中行而以直除”,即以右行上禾3遍乘中行各数,然后从中行中累减右行两次,得

   2.“又乘其次,亦以直除”。意即以右行上禾3遍乘左行各数,然后从左行内减去右行,得

   3. “然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除”。即以中行5遍乘左行,然后从左行内累减中行,得

   4. “左方下禾不尽者,上为法,下为实,实即下禾之实”。99为下禾之实。

   5.“求中禾,以法乘中行下实,而除下禾之实。余如中禾秉数而一,即中禾之实”。中禾之实为:

   6.“求上禾亦以法乘右行下实,而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一,即上禾之实。”上禾之实为:

   7.“实皆如法,各得一斗。”以上求得的上、中、下禾之实各为333,153,99.各除以法36,得

为上、中、下禾一秉之实。

    其中“直除法”就是两行对应数字相减,以达到消去其中一个数字的目的。刘徽的解释是“令少行减多行,反复相减,则头位必先尽。”